Родился 9 ноября 1922 г. в г. Далматово Курганской области. В 1941 году ушел на фронт, был ранен. В 1945-1949 гг. – секретарь Далматовского райкома ВЛКСМ; 1949-1950 гг. – заведующий орготделом Каргапольского райкома КПСС; 1950-1953 гг. - секретарь Каргапольского, затем Шадринского райкомов КПСС; 1954-1958 гг. - учеба в Высшей партийной школе; 1958-1962 гг. - заместитель председателя Шадринского райисполкома, 1962-1963 гг. - второй секретарь Шадринского райкома КПСС; 1964-1972 гг. - председатель Шадринского райисполкома; 1972-1980 гг. – первый секретарь Шадринского райкома КПСС.

В 1976 году А.Н. Грязнову было присвоено звание Героя Социалистического Труда. Умер в 2005 году.

В Шадринском районе утверждена премия администрации района им. Героя Социалистического Труда А.Н. Грязнова «За верность крестьянскому делу», которая ежегодно вручается руководителям сельхозпредприятий, достигшим наивысших показателей.